Son similares en cuanto a la funcionalidad que proveen.  Ambos permiten estar embebidos en páginas html, tienen variables de sesión y acceso a base de datos.

ASP es de Microsoft sólo opera en las plataformas de microsoft, en cambio jsp opera en cualquier plataforma conforme con la especificación J2EE.

Características
ASP JSP
se puede usar multiples servidores no si
se puede usar en multiples plataformas
Sólo windows si desde solaris, windows, Mac OS, linux,etc
tags personalizados
no si
Componentes re usables a través de plataformas
no si: JavaBeans
Open source
no si
Seguridad
no si
Habilidad para separar la generación de contenido
con la presentación del mismo
SI, usando objetos COM si
Lenguajes de programación
javascript, vbscript java
Generar html dinámicamente
si si